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In meccanica classica, il vettore di Laplace-Runge-Lenz (o semplicemente vettore di Lenz) è un vettore utilizzato comunemente per descrivere la forma e l'orientazione dell'orbita di un corpo celeste attorno ad un altro, come nel caso della rivoluzione di un pianeta attorno al sole.
Per due corpi interagenti secondo la gravità Newtoniana, il vettore di Lenz è una costante del moto, nel senso che esso, per una data orbita, conserva il suo aspetto indipendentemente dal punto o dal momento in cui esso venga calcolato[1]; in modo equivalente, si può dire che il vettore venga “conservato” durante il moto. Più in generale, questo vettore risulta conservato in tutti i problemi in cui due corpi interagiscono mediante una forza centrale che varia secondo la legge dell'inverso del quadrato delle distanza; tali problemi sono soprannominati problemi di Keplero[2].
L'atomo di idrogeno è un esempio di problema di questo tipo, in quanto comprende due particelle cariche interagenti attraverso la forza di Coulomb. Il vettore di Lenz rivestì un'importantissima funzione nella prima derivazione quantistica dello spettro di emissione dell'atomo di idrogeno[3] prima dello sviluppo dell'equazione di Schrödinger. Tuttavia, questo approccio oggi è scarsamente utilizzato.
In meccanica classica e quantistica, quantità conservate generalmente corrispondono a simmetrie del sistema. La conservazione del vettore di Lenz corrisponde a una simmetria alquanto inusuale: il problema di Keplero è infatti matematicamente equivalente a quello di una particella in moto libero sul confine tridimensionale di un'ipersfera,[4], cosicché l'intero problema risulta simmetrico rispetto certe rotazioni di questo spazio quadri-dimensionale[5]. Questa alta simmetria è il risultato di due proprietà del problema di Keplero: il vettore velocità si muove su un cerchio perfetto e, per un'energia meccanica predisposta, tutti questi cerchi di velocità si intersecano insieme negli stessi due punti[6].
Molte generalizzazioni del vettore di Lenz sono state elaborate con lo scopo di incorporare gli effetti della relatività speciale, campi elettromagnetici o altri tipi di forze centrali.
- ^ H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd edition, Addison Wesley, 1980, pp. 102–105,421–422.
- ^ VI Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., New York, Springer-Verlag, 1989, p. 38, ISBN 0-387-96890-3.
- ^ W Pauli, Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, in Zeitschrift für Physik, vol. 36, 1926, pp. 336–363, DOI:10.1007/BF01450175.
- ^ V Fock, Zur Theorie des Wasserstoffatoms, in Zeitschrift für Physik, vol. 98, 1935, pp. 145–154, DOI:10.1007/BF01336904.
- ^ V Bargmann, Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock, in Zeitschrift für Physik, vol. 99, 1936, pp. 576–582, DOI:10.1007/BF01338811.
- ^ WR Hamilton, The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction, in Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 3, 1847, pp. 344-353.